Descriptif

L’objectif de ce cours est de développer une théorie de l’homogénéisation stochastique et d’introduire les considérations quantitatives et numériques qui émergent dans ce contexte. Aucun prérequis en probabilités n’est attendu, seules des bases en analyse fonctionnelle et numérique pour les EDPs sont nécessaires. Nous commencerons par énoncer les résultats dans un cadre périodique avant de détailler le cadre aléatoire dans lequel nous allons travailler. Notre étude concerne les équations elliptiques linéaires aux coefficients stationnaires ergodiques dépendant d’une variable qui oscille rapidement comparée à la variable d'espace dans laquelle sont posées les équations. Nous montrerons la convergence presque sûre de la solution vers la solution d'une équation homogénéisée déterministe qui ne dépend plus que de la variable macroscopique. Nous aborderons ensuite les problématiques de quantification de cette convergence en montrant sur une équation elliptique perturbée un résultat de type central limite pour notre erreur. Nous présenterons enfin d'autres cadres aléatoires relevant de l'homogénéisation et les résultats associés, comme la perturbation d'un milieu périodique ou sa transformation par un difféomorphisme aléatoire de gradient stationnaire. Deux séances de travaux dirigés d'une heure et demi chacune auront lieu au cours du trimestre. Une séance de 3h de travaux pratiques en salle informatique nous permettra d'étudier la mise en oeuvre numérique de l'homogénéisation stochastique et d'appliquer des méthodes de réduction de variance pour améliorer nos algorithmes.