Descriptif
Les études théoriques et empiriques montrent que pour l’évaluation
d’options et surtout pour la gestion de risques, il est essentiel de prendre en compte la
possibilité d’un mouvement quasi-instantané de grande amplitude (saut) dans le cours
des actifs. Les processus de Lévy sont une classe de processus avec sauts à la fois assez
riche pour décrire la réalité des marchés et assez simple pour permettre un traitement
rigoureux et des calculs explicites.
Dans la première partie de ce cours, on donnera une introduction mathématique
simplifiée aux processus de Lévy et aux mesures aléatoires de Poisson, qui sont les
briques de construction de processus de Lévy.
Dans la deuxième partie, on se focalisera sur le calcul stochastique pour les processus
discontinus puis sur les applications financières des processus de Lévy. On traitera
la théorie d’évaluation d’options dans les modèles de Lévy, qui est déjà bien établie
dans la littérature. Si le temps le permet, on abordera également des sujets plus récents
comme la gestion de risques avec des processus de Lévy.
Une séance de travaux pratiques sera dédiée à la calibration de modèles et à la
simulation de processus de Lévy.
Le cours s’appuiera essentiellement sur le livre: R. Cont and P. Tankov, Financial
Modelling with Jump Processes, Chapman & Hall, CRC Press, 2004. Les étudiants
désirant approfondir leurs connaissances pourront consulter les autres références de la
bibliographie.
d’options et surtout pour la gestion de risques, il est essentiel de prendre en compte la
possibilité d’un mouvement quasi-instantané de grande amplitude (saut) dans le cours
des actifs. Les processus de Lévy sont une classe de processus avec sauts à la fois assez
riche pour décrire la réalité des marchés et assez simple pour permettre un traitement
rigoureux et des calculs explicites.
Dans la première partie de ce cours, on donnera une introduction mathématique
simplifiée aux processus de Lévy et aux mesures aléatoires de Poisson, qui sont les
briques de construction de processus de Lévy.
Dans la deuxième partie, on se focalisera sur le calcul stochastique pour les processus
discontinus puis sur les applications financières des processus de Lévy. On traitera
la théorie d’évaluation d’options dans les modèles de Lévy, qui est déjà bien établie
dans la littérature. Si le temps le permet, on abordera également des sujets plus récents
comme la gestion de risques avec des processus de Lévy.
Une séance de travaux pratiques sera dédiée à la calibration de modèles et à la
simulation de processus de Lévy.
Le cours s’appuiera essentiellement sur le livre: R. Cont and P. Tankov, Financial
Modelling with Jump Processes, Chapman & Hall, CRC Press, 2004. Les étudiants
désirant approfondir leurs connaissances pourront consulter les autres références de la
bibliographie.
19.5 heures en présentiel (4 blocs ou créneaux)
réparties en:
- Cours magistral : 16.25
- Contrôle : 3.25
Diplôme(s) concerné(s)
Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
PRB210-Modèles mathématiques de la Finance
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade européenPour les étudiants du diplôme Diplôme d'Ingénieur de l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées
Vos modalités d'acquisition :
Le contrôle des connaissances sera organisé sous forme d'un examen écrit classique.
Le rattrapage est autorisé (Max entre les deux notes écrêté à une note seuil)- le rattrapage est obligatoire si :
- Note initiale < 6
- le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
- 6 ≤ note initiale < 10
- Crédits ECTS acquis : 2 ECTS
- Scientifique acquis : 2
Le coefficient de l'UE est : 1
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
L'UE est évaluée par les étudiants.
Programme détaillé
- Introduction : motivations pour utiliser des processus discontinus en modélisation
financière; exemples de processus de Lévy et de processus discontinus en
général.
- Processus de Poisson et processus de Poisson composé. Mesures aléatoires de
Poisson. Fonctions caractéristiques. Simulation de processus de Poisson composé.
Exemples : modèle de Kou, modèle de Merton.
- Définition d’un processus de Lévy et exemples de processus de Lévy d’intensité
de sauts infinie. Processus gamma et modèle variance gamma. Mesure de sauts et
mesure de Lévy d’un processus de Lévy. Comportement de trajectoires: décomposition
de Lévy-Itô. Fonction caractéristique d’un processus de Lévy : formule
de Lévy-Khintchine.
- Calcul stochastique pour les processus avec sauts. Intégrales stochastiques par
rapport aux mesures aléatoires de Poisson. Variation quadratique et formule
d’Itô. Relation d’isométrie pour les intégrales stochastiques. Exponentielle de
Doléans. Intégrales stochastiques et théorie dynamique de portefeuille.
- Modèles exponentielle-Lévy. Changements de mesure pour les processus de
Lévy et absence d’arbitrage dans les modèles exponentielle-Lévy. Incompletude
du marché. Méthodes de couverture en marché incomplet. Couverture quadratique
dans les modèles avec sauts.
- Options européennes dans les modèles exp-Lévy. Evaluation d’options dans
les modèles exp-Lévy par transformée de Fourier. Algorithme FFT. Contrôle
d’erreurs.
- Options exotiques dans les modèles exp-Lévy. Méthodes de Monte Carlo. Equations
intégro-différentielles et schémas numériques associés.
- Gestion de risque et calcul de mesures de risque avec processus de Lévy.
- Modèles de Lévy multidimensionnels.
- Limitations de modèles exponentielle-Lévy. Processus additifs. Modèles à volatilité
stochastique et modèles affines.